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算籌:一場別開生面的數學競賽

  • 發佈時間:2015-10-10 01:31:21  來源:科技日報  作者:佚名  責任編輯:羅伯特

  ■武林科話

  如果問“金庸小説中誰是數學達人”?想必很多人會不假思索地回答“神算子瑛姑”,因為其人紮實的數學功底,所以獲得了和梁山好漢蔣敬一模一樣的外號,令人印象深刻。

  中國數學(或者説“算術”,後者更嚴謹)歷史非常悠久,遠遠超出一般人的想像。早在原始社會末期,隨著私有制和物物交換的産生,原始算術開始萌芽,距今6000多年的仰韶文化、半坡文化遺址,已經出現了數字符號和幾何圖形。

  夏商時期,中國出現了世界最早的十進位計數法,這是一個了不起的發明,一直影響至今。十進位或許是因為雙手共十指的原因,但當統計數字超過十,雙手不夠用了,古人就有必要借助於其他計數工具。故而,從西周開始,算籌這種計數工具就出現了,在《射雕英雄傳》小説中,這也是瑛姑的武器——用來點穴。

  算籌又稱為算、籌、策、算子等,是一種由竹、木、骨、鐵等材質製造的扁平薄片,在算盤發明之前,它統治了近兩千年的計算歲月。小説中,郭靖和黃蓉第一次看到瑛姑時,她正趴在地上擺算籌,計算55225的平方根。

  小説中寫道“那些算子排成商、實、法、借算四行”,這些專有名詞,在北宋賈憲的增乘開方法(求高次冪的正根法)和南宋秦九韶的正負開方術(高效次方程數值求解法)裏,都曾出現。

  黃蓉輕易口算出55225的平方根是235、34012224的立方根是324,數學水準可比瑛姑高多了,估計比同時代的秦九韶還要強上幾分。瑛姑不服氣,用“天元之術”向黃蓉發起挑戰。

  天元術是宋元時期發展起來的設未知數列方程的方法,南宋李冶在《敬齋古今黈》中記載了天元術早期發展的一些情況:早先東平有一關於建立方程的方法算經,以仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼等19個漢字表示未知數的各次冪,正冪在上,負冪在下,以“人”作為常數項。《射雕英雄傳》忠實地還原了這個典故。

  瑛姑出的題目是“四元術”,出現了天元、地元、人元、物元等專有名詞。其實這來自於元代數學家朱世傑的《四元玉鑒》,所謂“四元術”就是今日的多元高次方程列式與消元解法,雖然也很奇妙,但離9次方的“仙”、-9次方的“鬼”還差得很遠,所以根本不會給黃蓉造成什麼麻煩。

  惱羞成怒的瑛姑竟然用九宮圖來刁難黃蓉——九宮圖是中國最早的縱橫圖,亦稱幻方,據説是從黃帝和大禹時期的河圖洛書裏發明的。西漢末期的《周易·乾鑿度》記載説“太乙取其數以行九宮,四正四維皆合於十五”。換句話説,1到9這九個數字放在九宮格裏,不論橫豎斜排列,數字相加都是15。

  這道題目非常簡單,我在小學三年級的暑假作業裏就遇到過,也經常在各種小學奧數班習題裏見到。但是,瑛姑竟然不知道!

  黃蓉背出了九宮格的口訣(也就是答案),“九宮之義,法以靈龜,二四為肩,六八為足,左三右七,戴九履一,五居中央”。這個口訣的出處是北朝甄鸞的《數術記遺注》,該書描述説“九宮者,二四為肩,六八為足,左三右七,戴九履一,五居中央”,一口氣解開了這個三階縱橫圖的小秘密。

  瑛姑面如死灰,黃蓉適當補刀,又列出了四四圖、五五圖、百子圖,都是縱橫圖。黃蓉口述了四四圖的口訣,“以十六字依次作四行排列,先以外四角對換,一換十六,四換十三,後以內四角對換,六換十一,七換十。這般橫直上下斜角相加,皆是三十四”,這段文字一字不差地記載在南宋楊輝的《續古摘奇演算法》之“易換術”中,是解開四階縱橫圖的不二法門。

  雖然縱橫圖早在《周易》時代就已問世,但楊輝是世界上最早對幻方進行系統研究的數學家。他把縱橫圖從單一的方形擴散到圓形、梅花形、雪花形、九宮八卦形乃至於連環形,楊輝的奇異形縱橫圖因其多樣性和對稱性,創造了縱橫圖研究的一個巔峰,《中國科學技術史》的作者李約瑟對此深表欽佩。

  在小説中,黃蓉又顯擺了九宮八卦圖的奧秘,説“那九宮每宮又可化為一個八卦,八九七十二數,以從一至七十二之數,環繞九宮成圈,每圈八字,交界之處又有四圈,一共一十三圈,每圈數字相加,均為二百九十二”。

  金庸心目中的“九宮八卦圖”就是楊輝創造的“連環圖”,由9個小圈三三組合,一共能構成13個小圈,每個小圈上的數字相加總值衡為292。

  為了反擊瑛姑,黃蓉也佈下了三道難題,分別是:包括日、月、水、火、木、金、土、羅睺、計都的“七曜九執天竺筆算”“立方招兵支銀給米題”“鬼谷算題”。有熱心的網友表示,前面兩道題分別講的是不定積分和等差數列,而最後一題據我考證出自東晉末期的《孫子算經》,答案是23。

  這麼看來,瑛姑的算術水準確實不如黃蓉,比之黃藥師更是天差地遠,她要破解桃花島的迷宮救出老頑童,確實難度不小。

  中國古代數學是世界科技、文化寶庫中一顆璀璨的明珠,在四大文明古國的數學史上,中國數學持續繁榮的時間最長,所取得的成績也最為光彩奪目。中國古代數學先後歷經了兩漢、魏晉南北朝和宋元三個發展高峰,並在明清之交與西方數學展開了積極的交流與合作。

  作為基礎學科,中國數學在古代還是頗受重視的:《伏羲女媧圖》上,伏羲手持矩、女媧手持規,代表“天圓地方”;周代的貴族教育體系,稱之為“六藝”,指的是禮、樂、射、禦、書、數,其中的“數”就是算數(算術、數學);《周髀算經》和《九章算術》開創了中國數學的先河;隋唐兩宋,都有專門的國家算術研究機構,還有專門針對算術的科舉考試項目……然而,明清以後,隨著八股文的指定和壟斷,中國數學走向了沒落。反觀西方,歐洲逐步邁進資本主義社會,近代數學受生産力的刺激快速發展,這一進一退之間,中國和西方在數學水準之間的差距越拉越大。

  金庸小説中,“數學”元素並不多見,無非瑛姑的算籌、黃蓉的試題、黃真的算盤。黃真是明末清初人物,彼時算盤已經徹底取代了算籌被應用於人民日常生活中,但黃真的算術水準可能非常一般,他手上的那把算盤是兵器而不是計算器,説起來也是相當可惜的。

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