經驗：數學思維教學的著力點

隨著課程改革的深入，新課標要求，要充分利用學生的數學經驗，提高教學效能。如何將經驗與數學思維教學結合起來，值得思考。

知識化的“誤解”

經驗應該在數學思維教學的整個過程中發揮引出情境、呼應策略以及總結評價的作用。很多教師認為，經驗就是由表像轉化的一般性知識。在教學中，窄化了經驗，將解題經驗作為教學的核心，進行機械性傳授，忽視了數學思維。

現實情境將數學本質與人的原始經驗相對應，喚醒無需通過反思和形式化語言把握的直接性體驗。大數、十進位意義可在表達順暢中體會，方格紙直接展現了坐標的唯一性，加法和乘法模型均可由現實常見事件抽象化。

現實中很多並沒有、也不需要精確解。操作實物的核心是“轉化”思維：複雜變簡單，多類化為一類，陌生變熟悉。數學基本思想方法均源於“轉化”：條件與結論互調，局部與整體性質轉化，數與形互換以便簡化問題，將有限情形下的結論推廣到無限（也可相反）。採取典型現實情境，引導學生多角度看問題，引發多思維聯動。數學思維形式脫胎于邏輯的基本形態，需要通過對話等任務情境，提供給學生學會不同措辭方式的機會以提高對經驗中邏輯和語言的敏感度，強化數學思維的交叉性和發散性，形成直觀感覺。

推理的多樣性和差異性

推理，基於皮亞傑認知理論，可建立填充、推斷、擴大和否定這四種心理行為。經驗與這四種行為聯繫緊密，體現了推理特徵，進而反映數學思維。填充體現了如何引用示例，推斷通過聯結屬性將數學定理、公式、概念聯繫，擴大指的是具有不同屬性的例子間有明顯重疊的地方，否定抓住了相反性質。

經驗，反映了個體的推理風格興趣。根據哈金的研究，假設式推理以具有預設屬性的預設對象為基礎，創造演繹式結構的理論，必須推導出一個斷言的正當性；推理中傾向於實驗風格的通過對象的可觀察和可測量特徵來定義對象；傾向於建模風格的通過與其他理論對象的類比來定義其對象；利用分類方式進行推理的根據對象在分類中的位置來定義對象；統計推理方式用隨機出現的規律來定義對象；遺傳風格將推理對象定義為發展性的。採用不同的推理風格、方式會有不同理解，通過添加、區分、連接、合併可以拓寬理解。教師要注重學生推理的個性化和差異化，還要幫助其形成系統化和結構化的推理體系。通過形成健全的推理風格，理解知識是如何可能的、被證明的知識是如何通過特定推理形式而獲得以及推理形式的演變。不斷反思推理的特定形式，理解數學的意義層面、內容與形式間的聯繫。

形式化與非形式化的平衡

拉卡托斯將“數學發現的邏輯”描繪為：在問題和非形式化背景中提出猜想和非形式化證明，緊接著是對猜想或非形式化證明的反駁和論證，進一步探討改進猜想和證明，以此迴圈。

經驗共相介於知覺和概念普遍性之間，是個體對事物較為原初知識。形式化教學過於關注局部目標的達成，教師常以追求數學對象特徵和規律進行本質主義提問。強調答案的精確、問題解決的快速和術語的準確，極易走向理性強權。根據詮釋學的解釋，這種原初知識不一定是可被重復和證實的。因此，在形式化教學中，解決問題的藝術性可能會被僵硬的演繹步驟所取代，學生很難在某個層面實際創造。非形式化教學十分注重個人體驗、直覺和主體地位，與“經驗處於不斷的修正和更新中”相符合。

要實現形式化與非形式化的平衡，更聚焦問題實質。引導學生討論非形式化與形式化表徵的交互關係：將概念與短語或單詞相聯繫，通過感官體驗思考，在形式化概念拓展和對應思想出現時修正原有觀點；在推理時，先提供研究對象的非形式化表徵模型，然後表徵推理語句並討論語句的關係和對非形式化表徵的約束，保持推理步驟中不變的性質和關係。倡導從具體例子中歸納、使用簡例和視覺表徵、利用相關問題或子問題等不同方法識別概念間關係、理解給定任務、解決問題，思考數學思維。形式化專注數學領域導致低綜合化，而學科邊界流動性越來越高。因此，要開創有邊緣交叉性、背景性和開放性的背景，培養創新性思維。

整體性和階段性的兼顧

在一個階段內，個體只能生成有限的經驗，並且會受環境所限。隨著階段的變化，經驗會增長，但無法得到關於被經驗物的所有經驗。經驗具有一般性和整體性這兩種類型，不同類型的經驗價值不同。數學思維種各要素相互聯繫，密不可分。在數學思維教學中，需要根據經驗所處的階段，兼顧整體性，盡可能發揮經驗的最大價值。

以新課標為例，不同年齡段由於經驗關注的數學思維類型不同，同一類數學思維的關注點也不同。小學1-2年級主要是能初步從方法層面看問題，了解簡單策略。3-4年級能初步概括，用計數單位概括算理，根據角、邊等特徵概括圖形，概括統計圖功能；對策略深化，學會比較、類比、歸納，從長度可加性類比面積可加性，歸納運算律。5-6年級需要強化反思，多種思維共同發展，探索數的特徵，統籌四則運算；建立平面和立體間聯繫，探索面積和體積；在共性與區別基礎上感知基於合理性的價值判斷準則，針對隨機現象不同基本特徵選擇合適表達方式。在初中，用抽象符號抓住關鍵，將四則運演算法則遷移到代數式，用未知量轉化問題；建立關於歐氏幾何的幾何體系，分析比較圖形；認識抽樣的必要性、數據特徵和統計圖功能；感悟歸納和演繹這兩大有代表性的推理形式。初中數學要對具有不同性質的數學對象，進一步提煉經驗中的數學方法和結構，多角度認識問題、分析現實世界。

在教學設計中，要注重具體數學內容、數學模組主線、數學核心素養、經驗間的關係。

界定課標中的數學思維要素和所涉經驗，研究教材的特點與不足，架構教學目標，而不僅僅從知識和認知維度考慮問題。還可以融入單元教學設計的方法，多方式組織教學。

基礎性與創新性的並重

創設任務是數學課堂教學指向思維的核心環節。新課標提供的實例也顯示，任務總體體現基礎性和創新性。

任務起點低，易於符合學生經驗，引起認知衝突，激發積極的思維動機。善於利用小問題，説明推理和數學理性精神的重要性。要特別增加能反映思想方法必要性、形成邏輯以及想法作用的例子，促進反思。鼓勵學生用經驗中的實例描述陌生概念，在幾何直觀中體會圖像與運算式的相互一致性。

例子不應局限于單個經驗，應力求體現最基本的數學思想和活動經驗。例子應能提供基本方法框架，形成示範；鼓勵自主探索基礎結論。例子從具體到一般，體現同一經驗的逐漸深化。用不同方式體會變化關係、基本性質。在反思中，展示策略的變化。

新課標更關注現實問題，符合社會需求和時代發展，注重創新。培養學生關於電腦演算法和編程方面的經驗，才能解決部分發散性很強的統計問題。通過主題和項目式學習，充分挖掘學生的跨學科經驗理念，經歷提出問題、探究與解決、批判反思並在合作交流中協調、組織和表明自己的觀點。

非標準化任務不提供方向或策略，沒有標準答案，鼓勵學生根據經驗自主組織資訊、激發創造潛力、進行非演算法思考。還有一些例子，並沒有多種解決方案，似乎不鼓勵靈活和獨創性，但通過不同表徵方式將學生引入新的經驗領域。因此，可通過是否涉及多種表徵、數學交流、外部資訊、多種答案、多種解法、指導説明、標準化以及可拓展性等，全面評判任務的創造性特徵。

（作者/錢詣文  南京師範大學數學科學學院）