何謂簡單？何謂複雜？
我們對於簡單的理解有很多，比如説，當組成系統的要素只有有限的個數，最好是可以搬著手指數得過來，就説這樣的系統是簡單的，這是構成的簡單。如果系統總是在不斷重復中運作，像鐘擺、像繞太陽運動的行星一樣週而复始，就説這是簡單的週期運動，這是行為的簡單。如果物體的形狀用有限個直線和圓就可以描述，外觀舒展整齊、線條洗練，就説它是幾何化的（當然是歐幾裏得幾何），這是形狀的簡單。還有作用的簡單，如果系統中要素間的相互作用是線性的、可疊加的，……
對應著簡單，對於複雜的認識也有不少，比如説，要素眾多、盤根錯節的運動軌跡、難以描述的圖形、多變的結構、非線性作用，等等，都是從不同角度理解複雜。迂迴一點的話，我們還可以從解決問題所需要花費時間的多少、所編電腦程式的長短等，判斷事情複雜與否。
在上個世紀70年代之前，人們對簡單或複雜的看法很明確，簡單就是簡單，複雜就是複雜，因此，簡單系統的行為必然簡單，複雜行為的原因肯定複雜。然而，在混沌學中簡單與複雜的關係可不簡單，呈現種種深刻的關聯。
首先，簡單系統能夠産生出複雜行為。混沌可以出現在一些極簡單的確定性系統中，具體地説，它只要求構成要素不低於三個，因此只有三個要素的系統就可能具備極複雜的行為。比如説我們已經習慣了地球年復一年地繞太陽運作，這是個簡單力學系統中的簡單週期運動。但如果讓地球繞兩個太陽運作，雖然仍是簡單力學系統，只不過由兩個天體增加到了三個，地球的運動便將複雜到無法想像的程度，就像一隻被無數只大腳亂踢的足球。需要注意的是，這時 “地球”的運動仍是嚴格遵循力學規律的。
1963年建立的洛侖茲動力學方程，一個描述大氣對流狀況的數學模型，也向世人展示了這一現象。這個方程描述的系統只有三個變數，其運動卻是混沌的。我們可以試著感受它的複雜：想像天空中有一隻美麗的蜻蜓，它不是在自由的飛翔，而是按照一個極為確定的指令——洛侖茲動力方程——飛翔，那麼它所留下的軌跡就正好是洛侖茲動力學方程描繪的運動軌跡，結果你就看到了一種奇特的形狀——像一隻展開了雙翼的蝴蝶（見圖），有著永不相交、永不重復的高深莫測的圈和螺線。這樣，我們便見識了非常簡單的系統裏出現極其複雜運動的實例。
其次，複雜的行為可能表現為簡單的形式。混沌中能夠生出秩序、産生規則、創立新結構，各式各樣的渦旋可以看作是從雜亂無章的世界中産生結構化形式的範例。每年都會光臨我國沿海地區的颱風即熱帶氣旋是一種渦旋，它在空氣的劇烈擾動中生成，其結構卻能夠穩定地維持一週左右。木星上的大紅斑是兩股強大氣流之間的巨大漩渦，自1664年發現它的存在以來，其形狀、結構一直沒有什麼大的變化。而將盛有牛奶的平底鍋放在熱源上緩慢加熱，被加熱的奶則會自發地形成穩定的蜂窩狀的渦旋——著名的貝納德花紋。
第三，複雜行為的原因未必複雜。混沌的性質顯得高深莫測、極為複雜，但是，它形成和産生的機理卻可以是極其簡單的，只需要某種非線性作用的不斷重復便能夠構造出一些來。比如，數學分形具有無限的細節、無窮無盡的複雜性，卻只是一個很簡單的數學規則在電腦中反覆應用的結果；像大師傅製作千層餅一樣不斷交替進行拉伸和折疊動作也可構造出一種混沌；就連複雜得令人嘆為觀止的白蟻巢穴，也不過是成千上萬個白蟻不斷重復同一個簡單動作的結果。顯然，複雜性可能産生於非常簡單的事物之中，混沌學更為重視這一發現，並把它看作是複雜性研究的最大收穫之一。
在混沌學看來，客觀世界中的複雜事物可以分為兩種：一種是無規可循造成的複雜即無序的混亂，這種複雜的特點是，如果圖景是複雜的，那麼影響這個系統的規則必定很多；一種是有規律的複雜即混沌，這種複雜的事物具有分形結構，雖然形式上很複雜，但本質上卻很簡單，只用幾條規則便可破譯它的奧秘。因為分形恰巧有這樣的特點：看上去好像全無規則、複雜混亂，卻可以用極少的資訊表述出其全部資訊。換句話説，分形具有一種從簡單進入複雜的能力，是一個能夠在簡單中孕育複雜、將無限融于有限之中的統一體。
混沌學的研究還表明，大自然似乎異常偏愛分形，證據是自然界中以第二種複雜事物居多數。想一想道理也很簡單，因為有了分形，大自然就不必運用無窮多的資訊去構築極度複雜的世界了，她只需使用有限的、少量的資訊，通過簡單的迭代過程，便可“創造”出豐富多彩、精美絕妙的萬物。於是我們看到，大自然中有許多精巧絕倫的分形奇跡，比如説，蜿蜒曲折的海岸線、溝壑相連的水系、凹凸不定的浮雲、枝繁葉茂的大樹、動物身上斑駁的花紋、人體內的血管體系等等。
我們人類及其活動應該是最具複雜性的，現已發現在人類社會中也存在各種各樣的分形結構。比如説，正常發育的股票市場上股票的變化曲線就是一種分形，它實際上是諾亞效應和約瑟效應同時起作用的結果。諾亞效應意味著不連續的跳躍，比如相鄰的股價，一個極高，一個極低，相差懸殊。約瑟效應則意味著持續性，漲或跌可能持續地發生，股市經歷牛市（或熊市）越久，其勢頭就越有可能持續。在它們的共同作用下，股市存在持續漲（或跌）的趨勢，但是這種趨勢的來臨或消失卻可能是突然的。而且，這種持續和跳躍並存的規律會在不同的時間跨度上同樣地表現出來，不論是一天、一月、還是一年。
混沌學展示了看問題的嶄新視角，讓我們窺見了客觀世界精心藏匿的一角。這也許會使我們對混沌學産生更高的期望，希望它能夠提供具體地解決我們身邊問題的方法，不過遺憾的是作為一門發展中的科學，它尚不能滿足我們。
